§ 1 Правила нахождения части от целого и целого по его части
В этом занятии сформулируем правила отыскания части от целого и целого по его части, а также рассмотрим решение задач с использованием этих правил.
Рассмотрим две задачи:
Сколько километров прошли туристы в первый день, если весь туристический маршрут 20 км.?
Найдите длину всего пути туристов.
Сравним эти задачи - в обеих за целое принят весь путь. В первой задаче целое известно - 20 км, а во второй - неизвестно. В первой задаче необходимо найти часть от целого, а во второй - целое по его части. Величина, известная в первой задаче 20 км, неизвестна во второй задаче, и наоборот, известное во второй задаче - 8 км, в первой необходимо найти. Такие задачи называются взаимно обратными, так как в них известные и искомые величины меняются местами.
Рассмотрим первую задачу:
Знаменатель 5 показывает, на сколько частей разделили целое, т.е. если целое 20 разделить на 5, узнаем, сколько километров составляет одна часть, 20: 5 = 4 км. Числитель 2 показывает, что туристы прошли 2 части пути, значит 4 надо умножить на 2, получится 8 км. В первый день туристы прошли 8 км.
Получилось выражение 20: 5 ∙ 2 = 8.
Перейдем ко второй задаче.
Следовательно, одна часть будет равна частному 8 и 2, получится 4, знаменатель 5, значит, всего частей 5.
4 умножить на 5, получится 20. Ответ 20 км длина всего пути.
Запишем выражение: 8: 2 ∙ 5 = 20
Используя смысл умножения и деления числа на дробь, правила отыскания части от целого и целого по его части можно сформулировать так:
Чтобы найти часть от целого, надо число, соответствующее целому, умножить на дробь, соответствующую этой части;
чтобы найти целое по его части, надо число, соответствующее этой части, разделить на соответствующую части дробь.
Соответственно решение задач можно записать теперь по другому:
для первой задачи 20 ∙ 2/5 = 8 (км),
для второй задачи 8: 2/5 = 20 (км).
Чтобы не было затруднений, решение подобных задач записываем так:
Целое: весь путь, известно - 20 км.
Ответ: 8 км.
Целое: весь путь - неизвестно.
Ответ: 20 км.
§ 2 Алгоритм решения задач на нахождение целого по его части и части целого
Составим алгоритм решения подобных задач.
Сначала проанализируем условие и вопрос задачи: выясним, что является целым, известно оно или нет, далее выясним, как представлена часть целого и что нужно найти.
Если необходимо найти часть от целого, то целое умножим на дробь, соответствующую этой части, если надо найти целое по его части, то число, соответствующее части разделим на дробь, соответствующую этой части. В результате получим выражение. Далее найдем значение выражения и запишем ответ, прочитав перед этим еще раз вопрос задачи.
Итак, прежде чем решать подобные задачи, необходимо ответить на следующие вопросы:
Какая величина прията за целое?
Известна ли эта величина?
Что требуется найти: часть от целого или целое по его части?
Подведем итоги: в этом уроке Вы познакомились с правилами отыскания части от целого и целого по его части, а также научились решать задачи по этим правилам.
Список использованной литературы:
- Математика. 6 класс: поурочные планы к учебнику И.И. Зубаревой, А.Г. Мордковича //автор-составитель Л.А. Топилина. Мнемозина, 2009.
- Математика. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович.- М.: Мнемозина, 2013.
- Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений/Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др./ под редакцией Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина; Рос.акад.наук, Рос.акад.образования, М.: Просвещение, 2010.
- Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений /Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2013.
- Математика. 6 кл.: учебник /Г.К. Муравин, О.В. Муравина. – М.: Дрофа, 2014.
В разделе на вопрос как найти целое по его части? (формула) заданный автором россказни
лучший ответ это Нахождение целого по части;
Пример:
Решение: 420: 3/5 = 700 (кг).
Ответ от Европеоидный
[новичек]
Нахождение целого по части;
Чтобы найти число по величине данной его части,
делят эту величину на дробь, выражающую данную часть.
Пример:
Вес туши быка составляет 3/5 живого веса.
Каков должен быть живой вес быка, чтобы туша его весила 420кг?
Решение: 420: 3/5 = 700 (кг).
Ответ от Juriy marjenko
[новичек]
Чтобы найти число по его части надо часть разделить на числитель и умножить на знаменатель
Ответ от Павел Чупраков
[новичек]
Вот вам меленький стешок которы легко зопомнить:
Часть от целого найти
Не надо никого тревожить
Нам надо даное число
На эту дробь умножить
Ответ от Присосок
[новичек]
Нахождение целого по части;
Чтобы найти число по величине данной его части,
делят эту величину на дробь, выражающую данную часть.
Пример:
Вес туши быка составляет 3/5 живого веса.
Каков должен быть живой вес быка, чтобы туша его весила 420кг?
Решение: 420: 3/5 = 700 (кг).
Ответ от Ѝльвина Салихжанова
[новичек]
Чтобы найти часть х от целого а, надо число а, соответствующее целому, разделить на знаменатель m и результат умножить на числитель k дроби, которая выражает эту часть.
Ответ от Mi S Slonopotam
[гуру]
числитель разделить на знаменатель - получите целую часть и остаток (дробь)
ОСНОВНЫЕ ТИПЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ПРОЦЕНТЫ
I. НАХОЖДЕНИЕ ЧАСТИ ОТ ЦЕЛОГО
Чтобы найти часть (%) от целого, надо число умножить на часть (проценты, переведенные в десятичную дробь).
ПРИМЕР:
В классе 32 ученика. Во время контрольной работы отсутствовало 12,5% учащихся. Найди, сколько учеников отсутствовало?
РЕШЕНИЕ 1:
Целое в этой задаче – общее количество учащихся (32).
12,5% = 0,125
32 · 0,125 = 4
РЕШЕНИЕ 2:
Пусть х учеников отсутствовали, что составляет 12,5%. Если 32 ученика –
общее количество учеников (100%), то
32 ученика – 100%
х учеников – 12,5%
ОТВЕТ: В классе отсутствовало 4 ученика.
II. НАХОЖДЕНИЕ ЦЕЛОГО ПО ЕГО ЧАСТИ
Чтобы найти целое по его части (%-ам), надо число разделить на часть (проценты, переведенные в десятичную дробь).
ПРИМЕР:
Коля истратил в парке аттракционов 120 крон, что составило75% всех его карманных денег. Сколько было карманных денег у Коли до прихода в парк аттракционов?
РЕШЕНИЕ 1:
В этой задаче надо найти целое, если известна данная часть и значение
этой части.
75% = 0,75
120: 0,75 = 160
РЕШЕНИЕ 2:
Пусть х крон было у Коли, что составляет целое, т.е 100%. Если он потратил 120 крон, что составило 75%, то
120 крон– 75 %
х крон – 100 %
ОТВЕТ: У Коли было 160 крон.
III. ВЫРАЖЕНИЕ В ПРОЦЕНТАХ ОТНОШЕНИЯ ДВУХ ЧИСЕЛ
ТИПОВОЙ ВОПРОС:
СКОЛЬКО % СОСТАВЛЯЕТ ОДНА ВЕЛИЧИНА ОТ ДРУГОЙ?
ПРИМЕР:
Ширина прямоугольника 20м, а длина 32м. Сколько % составляет ширина от длины? (Длина является основой для сравнения)
РЕШЕНИЕ 1:
РЕШЕНИЕ 2:
В этой задаче длина прямоугольника 32м составляет 100%, тогда ширина 20м составляет х%. Составим и решим пропорцию:
20 метров – х %
32 метра – 100 %
ОТВЕТ: Ширина составляет от длины 62,5%.
NB! Обратите внимание на то, как меняется решение в зависимости от изменения вопроса.
ПРИМЕР:
Ширина прямоугольника 20м, а длина 32м. Сколько % составляет длина от ширины? (Ширина является основой для сравнения)
РЕШЕНИЕ 1:
РЕШЕНИЕ 2:
В этой задаче ширина прямоугольника 20м составляет 100%, тогда длина 32м составляет х%. Составим и решим пропорцию:
20 метров – 100 %
32 метра – х %
ОТВЕТ: Длина составляет от ширины 160%.
IV. ВЫРАЖЕНИЕ В ПРОЦЕНТАХ ИЗМЕНЕНИЯ ВЕЛИЧИНЫ
ТИПОВОЙ ВОПРОС:
НА СКОЛЬКО % ИЗМЕНИЛАСЬ (УВЕЛИЧИЛАСЬ, УМЕНЬШИЛАСЬ) ПЕРВОНАЧАЛЬНАЯ ВЕЛИЧИНА?
Чтобы найти изменение величины в % надо:
1) найти на сколько изменилась величина (без %)
2) разделить полученную величину из п.1) на величину, являющуюся основой для сравнения
3) перевести результат в % (выполнив умножение на 100%)
ПРИМЕР:
Цена платья снизилась с 1250 крон до 1000 крон. Найди на сколько процентов снизилась цена платья?
РЕШЕНИЕ 1:
2) Основа для сравнения здесь 1250 крон (т.е. то, что было изначально)
3)
ОТВЕТ: Цена платья уменьшилась на 20%.
NB! Обратите внимание на то, как меняется решение в зависимости от изменения вопроса.
ПРИМЕР:
Цена платья повысилась с 1000 крон до 1250 крон. Найди на сколько процентов повысилась цена платья?
РЕШЕНИЕ 1:
1) 1250 –1000= 250 (кр) на столько изменилась цена
2) Основа для сравнения здесь 1000 крон (т.е. то, что было изначально)
3)
Решение задачи одним действием:
РЕШЕНИЕ 2:
1250 –1000= 250 (кр) на столько изменилась цена
В этой задаче первоначальная цена 1000 крон 100%, тогда изменение цены 250 крон составляет х%. Составим и решим пропорцию:
1000 крон – 100 %
250 крон – х %
х =
ОТВЕТ:
Цена платья увеличилась на 25%.
V. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ИЗМЕНЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ (ЧИСЛА)
ПРИМЕР:
Число уменьшили на 15%, а затем увеличили на 20%. Найди на сколько процентов изменилось число?
Самая распространенная ошибка: число увеличилось на 5 %.
РЕШЕНИЕ 1:
1) Хотя исходное число не дано, для простоты решения можно принять его за 100 (т.е. одно целое или 1)
2) Если число уменьшилось на 15%, то полученное число составит 85%, или от 100 это было бы 85.
3) Теперь полученный результат надо увеличить на 20%, т.е
85 – 100%
а новое число х – 120% (т.к. увеличилось на 20%)
х =
4)Таким образом в результате изменений число 100 (первоначальное) изменилось и стало 102, а это означает, что первоначальное число увеличилось на 2%
РЕШЕНИЕ 2:
1) Пусть исходное число Х
2) Если число уменьшилось на 15%, то полученное число составит 85% от Х, т.е. 0,85Х.
3) Теперь полученное число надо увеличить на 20%, т.е
0,85Х – 100%
а новое число? – 120% (т.к. увеличилось на 20%)
? =
4) Таким образом в результате изменений число Х (первоначальное), является основой для сравнения, а число 1,02Х(полученное), (см. IV тип решения задач), тогда
ОТВЕТ: Число увеличилось на 2%.
Итак, пусть нам дано некоторое целое число a. Нам необходимо найти половину от этого числа. Сделать это можно с помощью обыкновенных дробей:
- Обозначим целое за единицу, тогда половина от единицы - это 1/2. Значит нам надо найти 1/2 от числа a.
- Чтобы найти 1/2 от числа a, мы должны умножить число a на часть, которую нам необходимо найти, то есть выполнить действие: a * 1/2 = a/2. То есть половина от числа a - это a/2.
- При этом, если мы ищем часть от целого числа, то результат будет меньше, чем исходное число.
Могут быть разные задачи на нахождении части от целого: если необходимо найти, например, четверть от числа a, то надо a * 1/4 = a/4. Если требуется найти 1/8 от числа a, то надо a * 1/8 = a/8. Нахождение любой части от целого выполняется умножением данного целого числа на часть, которую требуется найти.
Рассмотрим пример.
Как найти третью часть от числа 75
Нам дано целое - число 75. Нам необходимо найти от него третью часть, иначе - необходимо найти 1/3. Выполним действие умножение целого на часть: 75 * 1/3 = 25. Значит третья часть от числа 75 - это число 25. Можно сказать и так: число 25 меньше числа 75 в три раза. Или: число 75 больше числа 25 в три раза.
Тема урока: «Нахождение части целого и целого по его части».
Цель урока:
- Научиться находить дробь от числа и число по его дроби.
- Обобщить понятие обыкновенной дроби и действий с обыкновенными дробями.
Оборудование: Мультимедийный проектор, презентация Power Point (Приложение ).
ХОД УРОКА
I. Организационный момент
Учащиеся рассаживаются по группам (5-6 человек). Можно предложить провести диагностику своего настроения на этапах урока. Каждому ученику дается карточка, на которой он выделяет «характер» его настроения.
II. Актуализация знаний
Мы уже знакомы с понятием обыкновенной дроби.
– Что показывает числитель дроби? (На сколько
частей разделили целое).
– Что показывает знаменатель дроби? (Сколько
частей взяли).
– Рассмотрите рисунок и ответьте на вопросы:
Учащимся предлагается воспроизвести его.
III. Устный счет. (Лучший счетчик)
Каждой команде на экране предлагается задание. Команды поочередно выполняют задание.
1-я команда
2-я команда
3-я команда
4-я команда
Подводится итог – какая команда является лучшим счетчиком.
IV. Диктант
Диктант проводится с последующей самопроверкой. Возможно выполнение под копирку, один экземпляр учащиеся сдают учителю на проверку.
1. Вместо х вставить пропущенное число:
2. Сократить дробь:
3. Расположить дроби в порядке убывания:
4. Выполнить действия:
5. На островах Тихого океана живут черепахи – гиганты. Они такой величины, что дети могут кататься, сидя у них на панцире. Узнать название самой крупной в мире черепахи поможет нам следующее задание.
После сдачи решения, учащиеся проверяют ответы.
V. Новый материал
Учитель предлагает решить задачи (на их обдумывание дается минут 5 – 7)
1. На ветке сидело 12 птиц. Затем из них улетело. Сколько птиц улетело?
2. В Вашем классе по математике за третью четверть получили отметку «5» 6 человек. Это составляет от числа всех учащихся в классе. Сколько учащихся в классе?
Затем сверяется решение, которое показывается на слайде.
1 способ: 12: 3 2 = 8 (птиц)
2 способ: 12 = 8 (птиц)
2 задача. 6: = 6 = 34 (чел.)
Учитель обращает внимание на то, что можно выделить два типа задач:
1. Чтобы найти часть от числа
,
выраженную дробью, нужно это число умножить
на данную дробь.
2. Чтобы найти число по его част
и,
выраженной дробью, нужно разделить
на
эту дробь число, ей соответствующее.
Учащимся предлагается заучить это правило прямо в классе и в парах пересказать друг другу.
Учитель акцентирует внимание на следующее: для тех, кто затрудняется в определении типа задачи, советую обращать внимание на предлоги что , это . Эти предлоги встречаются в задачах на нахождение числа по его дроби .
VI. Закрепление нового материала
На слайде условие шести задач и учащимся предлагается рассортировать их в две колонки по типам.
1. Магазин принял для продажи 156 кг рыбы. 1/3 всей
рыбы составил карп. Сколько кг карпа получил
магазин?
2. Провели 18 опытов, это составило 2/9 всей серии
опытов. Сколько опытов надо провести?
3. Учитель проверил 20 тетрадей. Это составило 4/5
всех тетрадей. Сколько всего тетрадей надо
проверить учителю?
4. Из 72 пятиклассников 3/ 8 занимаются легкой
атлетикой. Сколько учащихся занимаются этим
видом спорта?
5. Для выставки отобрали 30 картин. Это составило 2/3
имеющихся в музее картин. Сколько картин взято на
выставку?
6. От веревки, длиной 18 м отрезали 3/4 ее длины.
Сколько метров веревки осталось?
VII. Итог урока
Учитель возвращает учащихся к цели урока, предлагает выделить два типа задач на дроби и алгоритмы их решения. Собираются листочки с диагностикой настроения.
VIII. Домашнее задание: П. 9.6, № 1050, 1058, 1060.
